Première Spécialité Mathématiques

Révision — Géométrie repérée et produit scalaire

Coordonnées, vecteurs, droites cartésiennes, produit scalaire, médiatrice, hauteur, projeté orthogonal, cercles et tangentes. Une page complète pour réviser efficacement avant un contrôle ou un Bac blanc.

Coordonnées Vecteurs Droites Produit scalaire Cercles Tangentes

Méthode générale

Pour réussir un exercice de géométrie repérée en Première Spécialité, il faut éviter de calculer au hasard. La méthode la plus sûre est toujours la même : identifier la nature de l’objet géométrique, choisir les bons vecteurs, écrire l’équation adaptée, puis conclure avec une phrase géométrique claire.

Coordonnées Vecteurs Équation Produit scalaire Conclusion
Point clé : un calcul n’est pas une conclusion. Après chaque calcul, il faut écrire clairement : les droites sont parallèles, les droites sont perpendiculaires, le point est un projeté orthogonal, la droite est tangente au cercle, etc.

Sommaire

  1. Partie I — Questions de cours
  2. Partie II — Cours essentiel
  3. Partie III — Méthodes directes
  4. Partie IV — Applications directes
  5. Partie V — Exercices type Bac blanc
  6. Partie VI — Bilan méthode

Partie I — Questions de cours

Ces questions doivent être connues avant de faire les exercices. Elles permettent de vérifier les réflexes indispensables : vecteur directeur, vecteur normal, médiatrice, hauteur, produit scalaire, cercle et tangente.

1. Droites cartésiennes

  1. Si une droite a pour équation \(ax+by+c=0\), quel est un vecteur normal ?
  2. Quel est un vecteur directeur possible de cette droite ?
  3. Comment écrire l’équation d’une droite passant par \(A(x_A;y_A)\) et de vecteur normal \((a;b)\) ?
  4. Comment savoir si deux droites sont parallèles avec leurs équations cartésiennes ?
  5. Comment construire une droite perpendiculaire à une droite donnée ?
Réponses attendues
  1. Un vecteur normal est \(\vec n(a;b)\).
  2. Un vecteur directeur possible est \(\vec u(-b;a)\).
  3. On écrit \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\).
  4. Deux droites parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires, ou le même coefficient directeur.
  5. Une droite perpendiculaire à \(d\) peut avoir comme vecteur normal un vecteur directeur de \(d\).

2. Produit scalaire et géométrie

  1. Quelle formule permet de calculer \(\vec u\cdot\vec v\) avec les coordonnées ?
  2. Quelle condition permet de prouver que deux vecteurs sont orthogonaux ?
  3. Quelle formule relie le produit scalaire à un angle ?
  4. Comment montrer qu’un triangle est rectangle en \(A\) avec le produit scalaire ?
  5. Comment caractériser le cercle de diamètre \([AB]\) avec un point \(M\) ?
Réponses attendues
  1. Si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\), alors \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\).
  2. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire vaut \(0\).
  3. \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\theta)\).
  4. On calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). S’il vaut \(0\), le triangle est rectangle en \(A\).
  5. \(M\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\) si \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0\).

Partie II — Cours essentiel

Cette partie regroupe les formules indispensables. Elles doivent être maîtrisées avant les applications directes.

Notion Formule Utilisation
Vecteur \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\) Calculer une direction ou un déplacement.
Milieu \(I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)\) Trouver un centre de segment ou de diamètre.
Distance \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) Calculer une longueur ou un rayon.
Droite cartésienne \(ax+by+c=0\) Utiliser un vecteur normal \((a;b)\).
Vecteur directeur \(\vec u(-b;a)\) Direction d’une droite \(ax+by+c=0\).
Produit scalaire \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\) Tester une orthogonalité.
Angle \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\theta)\) Calculer une mesure d’angle.
Cercle \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) Centre \((a;b)\), rayon \(r\).
Distance point-droite \(d(A,\Delta)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) Tangence, hauteur, distance minimale.
Raccourci essentiel : pour \(ax+by+c=0\), le vecteur normal est \((a;b)\) et un vecteur directeur possible est \((-b;a)\).

Partie III — Méthodes directes

1. Médiatrice d’un segment

La médiatrice de \([AB]\) passe par le milieu \(I\) de \([AB]\) et est perpendiculaire à \((AB)\). Donc \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur normal de la médiatrice.

Calculer \(I\) Calculer \(\overrightarrow{AB}\) Utiliser \(\overrightarrow{AB}\) normal Écrire l’équation

Si \(I(x_I;y_I)\) et \(\overrightarrow{AB}(p;q)\), alors la médiatrice a pour équation :

\[ p(x-x_I)+q(y-y_I)=0. \]

2. Hauteur dans un triangle

Dans un triangle \(ABC\), la hauteur issue de \(A\) passe par \(A\) et est perpendiculaire à \((BC)\). Donc \(\overrightarrow{BC}\) est un vecteur normal de cette hauteur.

Si \(\overrightarrow{BC}(p;q)\) et \(A(x_A;y_A)\), alors la hauteur issue de \(A\) a pour équation :

\[ p(x-x_A)+q(y-y_A)=0. \]

3. Tangente à un cercle

La tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon passant par ce point. Si le centre est \(I\) et le point de tangence est \(A\), alors \(\overrightarrow{IA}\) est un vecteur normal de la tangente.

Partie IV — Applications directes

Cette partie sert à automatiser les réflexes de calcul. Les exercices sont courts, progressifs et corrigés pour entraîner les méthodes avant les problèmes type Bac blanc.

Objectif : reconnaître rapidement l’outil à utiliser : vecteur normal, vecteur directeur, médiatrice, hauteur, produit scalaire, cercle ou distance point-droite.

Application directe 1 — Vecteur normal et vecteur directeur

Pour chacune des droites suivantes, donner un vecteur normal et un vecteur directeur.

  1. \(d_1:3x-2y+5=0\)
  2. \(d_2:-4x+y-7=0\)
  3. \(d_3:5x+6y-1=0\)
  4. \(d_4:x-3y+8=0\)
Correction détaillée
  1. \(\vec n_1(3;-2)\), \(\vec u_1(2;3)\).
  2. \(\vec n_2(-4;1)\), \(\vec u_2(-1;-4)\).
  3. \(\vec n_3(5;6)\), \(\vec u_3(-6;5)\).
  4. \(\vec n_4(1;-3)\), \(\vec u_4(3;1)\).

Application directe 2 — Droite passant par un point avec vecteur normal

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point donné et admettant le vecteur normal indiqué.

  1. \(A(2;3)\), \(\vec n(4;-1)\)
  2. \(B(-1;5)\), \(\vec n(2;3)\)
  3. \(C(0;-2)\), \(\vec n(-5;2)\)
  4. \(D(4;-3)\), \(\vec n(1;1)\)
Indice

Utiliser \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\).

Correction détaillée
  1. \(4(x-2)-(y-3)=0\), donc \(\boxed{4x-y-5=0}\).
  2. \(2(x+1)+3(y-5)=0\), donc \(\boxed{2x+3y-13=0}\).
  3. \(-5x+2(y+2)=0\), donc \(\boxed{-5x+2y+4=0}\).
  4. \((x-4)+(y+3)=0\), donc \(\boxed{x+y-1=0}\).

Application directe 3 — Droite parallèle à une droite donnée

Déterminer une équation de \(\Delta\) passant par le point donné et parallèle à \(d\).

  1. \(A(1;2)\), \(d:3x-2y+4=0\)
  2. \(B(-2;5)\), \(d:x+4y-7=0\)
  3. \(C(3;-1)\), \(d:-2x+5y+1=0\)
  4. \(D(0;4)\), \(d:6x-y+3=0\)
Correction détaillée
  1. \(\Delta:3x-2y+c=0\). Avec \(A\), \(c=1\). Donc \(\boxed{3x-2y+1=0}\).
  2. \(\Delta:x+4y+c=0\). Avec \(B\), \(c=-18\). Donc \(\boxed{x+4y-18=0}\).
  3. \(\Delta:-2x+5y+c=0\). Avec \(C\), \(c=11\). Donc \(\boxed{-2x+5y+11=0}\).
  4. \(\Delta:6x-y+c=0\). Avec \(D\), \(c=4\). Donc \(\boxed{6x-y+4=0}\).

Application directe 4 — Droite perpendiculaire à une droite donnée

Déterminer une équation de \(\Delta\) passant par le point donné et perpendiculaire à \(d\).

  1. \(A(1;3)\), \(d:2x-y+5=0\)
  2. \(B(-2;1)\), \(d:3x+4y-6=0\)
  3. \(C(5;-1)\), \(d:x-2y+7=0\)
  4. \(D(0;2)\), \(d:-5x+y-4=0\)
Indice

Une droite perpendiculaire à \(d\) peut prendre un vecteur directeur de \(d\) comme vecteur normal.

Correction détaillée
  1. Un vecteur directeur de \(d\) est \((1;2)\). Donc \(x-1+2(y-3)=0\), soit \(\boxed{x+2y-7=0}\).
  2. Un vecteur directeur est \((-4;3)\). Donc \(-4(x+2)+3(y-1)=0\), soit \(\boxed{-4x+3y-11=0}\).
  3. Un vecteur directeur est \((2;1)\). Donc \(2(x-5)+(y+1)=0\), soit \(\boxed{2x+y-9=0}\).
  4. Un vecteur directeur est \((-1;-5)\). Donc \(-x-5(y-2)=0\), soit \(\boxed{x+5y-10=0}\).

Application directe 5 — Médiatrice d’un segment

Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de \([AB]\).

  1. \(A(1;2)\), \(B(5;4)\)
  2. \(A(-2;1)\), \(B(4;3)\)
  3. \(A(0;-1)\), \(B(6;5)\)
  4. \(A(-3;-2)\), \(B(1;6)\)
Correction détaillée
  1. \(I(3;3)\), \(\overrightarrow{AB}(4;2)\). Donc \(4(x-3)+2(y-3)=0\), soit \(\boxed{2x+y-9=0}\).
  2. \(I(1;2)\), \(\overrightarrow{AB}(6;2)\). Donc \(6(x-1)+2(y-2)=0\), soit \(\boxed{3x+y-5=0}\).
  3. \(I(3;2)\), \(\overrightarrow{AB}(6;6)\). Donc \(6(x-3)+6(y-2)=0\), soit \(\boxed{x+y-5=0}\).
  4. \(I(-1;2)\), \(\overrightarrow{AB}(4;8)\). Donc \(4(x+1)+8(y-2)=0\), soit \(\boxed{x+2y-3=0}\).

Application directe 6 — Hauteur dans un triangle

Dans chaque cas, déterminer une équation de la hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\).

  1. \(A(1;2)\), \(B(3;-1)\), \(C(7;5)\)
  2. \(A(-2;4)\), \(B(1;1)\), \(C(5;3)\)
  3. \(A(0;-1)\), \(B(-3;2)\), \(C(4;6)\)
  4. \(A(5;0)\), \(B(2;-2)\), \(C(6;4)\)
Correction détaillée
  1. \(\overrightarrow{BC}(4;6)\). Donc \(4(x-1)+6(y-2)=0\), soit \(\boxed{2x+3y-8=0}\).
  2. \(\overrightarrow{BC}(4;2)\). Donc \(4(x+2)+2(y-4)=0\), soit \(\boxed{2x+y=0}\).
  3. \(\overrightarrow{BC}(7;4)\). Donc \(7x+4(y+1)=0\), soit \(\boxed{7x+4y+4=0}\).
  4. \(\overrightarrow{BC}(4;6)\). Donc \(4(x-5)+6y=0\), soit \(\boxed{2x+3y-10=0}\).

Application directe 7 — Produit scalaire et triangle rectangle

Dans chaque cas, dire si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

  1. \(A(1;1)\), \(B(5;3)\), \(C(3;-3)\)
  2. \(A(0;2)\), \(B(4;6)\), \(C(2;0)\)
  3. \(A(-1;3)\), \(B(2;5)\), \(C(1;0)\)
  4. \(A(2;-1)\), \(B(6;1)\), \(C(3;-3)\)
Correction détaillée
  1. \(\overrightarrow{AB}(4;2)\), \(\overrightarrow{AC}(2;-4)\). Produit scalaire : \(8-8=0\). Rectangle en \(A\).
  2. \(\overrightarrow{AB}(4;4)\), \(\overrightarrow{AC}(2;-2)\). Produit scalaire : \(8-8=0\). Rectangle en \(A\).
  3. \(\overrightarrow{AB}(3;2)\), \(\overrightarrow{AC}(2;-3)\). Produit scalaire : \(6-6=0\). Rectangle en \(A\).
  4. \(\overrightarrow{AB}(4;2)\), \(\overrightarrow{AC}(1;-2)\). Produit scalaire : \(4-4=0\). Rectangle en \(A\).

Application directe 8 — Cercle : équation, centre et rayon

  1. Donner l’équation du cercle de centre \(A(1;2)\) et de rayon \(3\).
  2. Donner l’équation du cercle de centre \(B(-2;4)\) et de rayon \(5\).
  3. Déterminer le centre et le rayon du cercle \((x-2)^2+(y+1)^2=16\).
  4. Déterminer le centre et le rayon du cercle \((x+3)^2+(y-4)^2=9\).
Correction détaillée
  1. \(\boxed{(x-1)^2+(y-2)^2=9}\).
  2. \(\boxed{(x+2)^2+(y-4)^2=25}\).
  3. Centre \(\Omega(2;-1)\), rayon \(4\).
  4. Centre \(\Omega(-3;4)\), rayon \(3\).

Application directe 9 — Distance d’un point à une droite

Calculer la distance du point \(A\) à la droite \(d\).

  1. \(A(1;2)\), \(d:3x+4y-5=0\)
  2. \(A(-2;1)\), \(d:x-2y+6=0\)
  3. \(A(0;-3)\), \(d:5x-12y+1=0\)
  4. \(A(4;0)\), \(d:2x+y-10=0\)
Correction détaillée
  1. \(d(A,d)=\frac{|3+8-5|}{5}=\boxed{\frac65}\).
  2. \(d(A,d)=\frac{|-2-2+6|}{\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}=\boxed{\frac{2\sqrt5}{5}}\).
  3. \(d(A,d)=\frac{|0+36+1|}{13}=\boxed{\frac{37}{13}}\).
  4. \(d(A,d)=\frac{|8-10|}{\sqrt5}=\boxed{\frac{2\sqrt5}{5}}\).

Application directe 10 — Cercle tangent à une droite

Dans chaque cas, trouver une équation du cercle de centre \(A\) tangent à la droite \(d\).

  1. \(A(1;2)\), \(d:3x+4y-10=0\)
  2. \(A(-1;3)\), \(d:x-2y+4=0\)
  3. \(A(5;3)\), \(d:3x+4y-12=0\)
Correction détaillée
  1. \(r=\frac{|3+8-10|}{5}=\frac15\), donc \(\boxed{(x-1)^2+(y-2)^2=\frac1{25}}\).
  2. \(r=\frac{|-1-6+4|}{\sqrt5}=\frac3{\sqrt5}\), donc \(r^2=\frac95\), et \(\boxed{(x+1)^2+(y-3)^2=\frac95}\).
  3. \(r=\frac{|15+12-12|}{5}=3\), donc \(\boxed{(x-5)^2+(y-3)^2=9}\).

Partie V — Exercices type Bac blanc

Ces exercices sont plus longs et mélangent plusieurs notions. Ils reprennent les formats de contrôle : vecteurs directeurs et normaux, déterminant, projeté orthogonal, cercle de diamètre, tangente et intersections cercle-droite.

Exercice 1 — Droite, vecteur directeur et vecteur normal

On considère la droite \(d\) d’équation :

\[ 5x+2y+5=0. \]
  1. Trouver un vecteur directeur \(\vec u\) de \(d\).
  2. Trouver un vecteur normal \(\vec n\) à \(d\).
  3. Trouver une équation de la droite \(\Delta\) passant par \(A(-2;3)\) et perpendiculaire à \(d\).
  4. Trouver une équation de la droite \(\Delta'\) passant par \(B(7;1)\) et parallèle à \(d\).
Correction détaillée

Pour \(d:5x+2y+5=0\), un vecteur normal est :

\[ \vec n(5;2). \]

Un vecteur directeur possible est :

\[ \vec u(-2;5). \]

La droite \(\Delta\) est perpendiculaire à \(d\), donc elle admet \(\vec u(-2;5)\) comme vecteur normal :

\[ -2(x+2)+5(y-3)=0. \] \[ \boxed{-2x+5y-19=0} \]

La droite \(\Delta'\) est parallèle à \(d\), donc elle a le même vecteur normal \((5;2)\) :

\[ 5(x-7)+2(y-1)=0. \] \[ \boxed{5x+2y-37=0} \]

Exercice 2 — Déterminant et projeté orthogonal

On considère les points :

\[ A(2;5),\quad B(-3;1),\quad C(4;-2). \]
  1. Déterminer une équation cartésienne de \((AB)\) en utilisant le déterminant.
  2. Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\).
  3. Calculer la distance \(CH\).
  4. En déduire l’aire du triangle \(ABC\).
Correction détaillée \[ \overrightarrow{AB}(-5;-4). \]

Soit \(M(x;y)\). Alors \(\overrightarrow{AM}(x-2;y-5)\). On écrit :

\[ \det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0. \] \[ \begin{vmatrix} x-2 & -5\\ y-5 & -4 \end{vmatrix}=0. \] \[ -4(x-2)+5(y-5)=0. \] \[ \boxed{4x-5y+17=0} \]

Soit \(H(x_H;y_H)\). On a :

\[ \begin{cases} 4x_H-5y_H+17=0\\ 5x_H+4y_H-12=0 \end{cases} \]

La deuxième équation vient de \(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\).

\[ \boxed{H\left(-\frac{8}{41};\frac{133}{41}\right)} \]

La distance vaut :

\[ CH=\frac{43}{\sqrt{41}}. \]

Comme \(AB=\sqrt{41}\), l’aire vaut :

\[ \mathcal A_{ABC}=\frac{AB\times CH}{2} =\boxed{\frac{43}{2}}. \]

Exercice 3 — Centre et rayon d’un cercle

Dans un repère orthonormé, le cercle \(\mathcal C\) a pour équation :

\[ x^2+y^2-x-6y+\frac52=0. \]
  1. Démontrer que cette équation est celle d’un cercle.
  2. Déterminer son centre.
  3. Déterminer son rayon.
Correction détaillée \[ x^2-x+y^2-6y+\frac52=0. \] \[ \left(x-\frac12\right)^2-\frac14+(y-3)^2-9+\frac52=0. \] \[ \left(x-\frac12\right)^2+(y-3)^2=\frac{27}{4}. \]

Le centre est :

\[ \boxed{\Omega\left(\frac12;3\right)} \]

Le rayon est :

\[ \boxed{r=\frac{3\sqrt3}{2}}. \]

Exercice 4 — Cercle de diamètre et produit scalaire

On considère les points :

\[ A(4;1)\quad\text{et}\quad B(-5;-7). \]

Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre \([AB]\) en utilisant le produit scalaire.

Correction détaillée

Soit \(M(x;y)\). On calcule :

\[ \overrightarrow{AM}(x-4;y-1),\qquad \overrightarrow{BM}(x+5;y+7). \]

Le point \(M\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\) si :

\[ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0. \] \[ (x-4)(x+5)+(y-1)(y+7)=0. \] \[ \boxed{x^2+y^2+x+6y-27=0} \]

Exercice 5 — Tangente et intersections cercle-droite

On considère le cercle \(\mathcal C\) d’équation :

\[ x^2+y^2-2x-2y-23=0. \]

Ce cercle a pour centre \(A(1;1)\) et passe par le point \(C(5;4)\).

  1. Vérifier que \(A(1;1)\) est bien le centre du cercle.
  2. Vérifier que \(C(5;4)\) appartient au cercle.
  3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente au cercle en \(C\).
  4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de \(\mathcal C\) avec la droite \(D:-x+3y+3=0\).
Correction détaillée \[ x^2-2x+y^2-2y=23. \] \[ (x-1)^2+(y-1)^2=25. \]

Le centre est \(A(1;1)\) et le rayon vaut \(5\).

Vérification pour \(C(5;4)\) :

\[ (5-1)^2+(4-1)^2=4^2+3^2=25. \]

Donc \(C\in\mathcal C\).

Le vecteur rayon est :

\[ \overrightarrow{AC}(4;3). \]

La tangente en \(C\) a donc pour vecteur normal \((4;3)\), donc :

\[ 4x+3y+c=0. \]

Comme elle passe par \(C(5;4)\) :

\[ 20+12+c=0, \qquad c=-32. \] \[ \boxed{4x+3y-32=0} \]

Pour l’intersection avec \(D\), on écrit :

\[ -x+3y+3=0\Longleftrightarrow x=3y+3. \] \[ (3y+3)^2+y^2-2(3y+3)-2y-23=0. \] \[ 10y^2+10y-20=0 \Longleftrightarrow y^2+y-2=0. \] \[ (y+2)(y-1)=0. \]

Donc \(y=-2\) ou \(y=1\).

Si \(y=-2\), alors \(x=-3\). Si \(y=1\), alors \(x=6\).

\[ \boxed{(-3;-2)} \quad\text{et}\quad \boxed{(6;1)}. \]

Exercice 6 — Produit scalaire dans un triangle

\(ABC\) est un triangle tel que \(AB=6\), \(AC=7\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=21\).

  1. Calculer une mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\).
  2. Calculer \(\|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\|^2\).
  3. En déduire la longueur \(BC\).
Correction détaillée

On utilise :

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC}). \] \[ 21=6\times7\times\cos(\widehat{BAC}). \] \[ \cos(\widehat{BAC})=\frac12. \] \[ \boxed{\widehat{BAC}=60^\circ} \]

Or \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\). Donc :

\[ BC^2=\|\overrightarrow{BC}\|^2. \]

Par la relation d’Al-Kashi vectorielle :

\[ BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}. \] \[ BC^2=36+49-42=43. \] \[ \boxed{BC=\sqrt{43}}. \]

Exercice 7 — Ensemble de points avec produit scalaire

Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB=6\). On note \(O\) le milieu de \([AB]\).

  1. Montrer que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MO^2-OA^2\).
  2. Décrire l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).
  3. Décrire l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-2\).
  4. Que peut-on dire si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-12\) ?
Correction détaillée

Comme \(O\) est le milieu de \([AB]\), on a \(OA=3\).

La relation donne :

\[ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MO^2-OA^2=MO^2-9. \]

Si le produit scalaire vaut \(0\), alors :

\[ MO^2-9=0\Longleftrightarrow MO=3. \]

L’ensemble est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\).

Si le produit scalaire vaut \(-2\), alors :

\[ MO^2-9=-2\Longleftrightarrow MO^2=7. \]

L’ensemble est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt7\).

Si le produit scalaire vaut \(-12\), alors :

\[ MO^2-9=-12\Longleftrightarrow MO^2=-3. \]

Impossible, donc l’ensemble est vide.

Partie VI — Bilan méthode

À retenir absolument : \[ ax+by+c=0 \Rightarrow \vec n(a;b) \quad\text{et}\quad \vec u(-b;a). \] Pour une médiatrice, on utilise le milieu et \(\overrightarrow{AB}\) comme vecteur normal. Pour une hauteur issue de \(A\), on utilise \(\overrightarrow{BC}\) comme vecteur normal. Pour une tangente à un cercle, on utilise le rayon comme vecteur normal.
Erreurs classiques : ne pas confondre vecteur directeur et vecteur normal ; ne pas oublier la valeur absolue dans la distance point-droite ; ne pas oublier la phrase de conclusion géométrique.