Première Spécialité Mathématiques
Révision — Probabilités et variables aléatoires
Arbres pondérés, probabilités conditionnelles, indépendance, loi de probabilité,
espérance, variance et écart-type : une page complète pour réviser efficacement
avant un devoir ou un bac blanc.
Arbres pondérés
Conditionnelles
Indépendance
Loi
Espérance
Variance
Méthode générale
En probabilités, la difficulté principale n’est pas le calcul, mais la lecture de la situation :
identifier les événements, choisir la bonne formule, utiliser l’arbre correctement, puis
interpréter le résultat obtenu.
Événements
+
Arbre
+
Formule
+
Calcul
+
Conclusion
Point clé :
sur une branche, on lit une probabilité conditionnelle ; sur un chemin, on multiplie ;
pour réunir plusieurs chemins compatibles, on additionne.
Partie II — Cours essentiel
1. Probabilité conditionnelle
Si \(P(A)\neq0\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\) est :
\[
P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
\]
On en déduit la formule très utilisée :
\[
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).
\]
Interprétation :
\(P_A(B)\) signifie que l’univers est réduit aux cas où \(A\) est déjà réalisé.
2. Formule des probabilités totales
Si \(A\) et \(\overline A\) forment une partition de l’univers, alors :
\[
P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B).
\]
Avec les probabilités conditionnelles :
\[
P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B).
\]
Attention :
cette formule correspond souvent à l’addition de deux chemins dans un arbre pondéré.
3. Indépendance
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque :
\[
P(A\cap B)=P(A)P(B).
\]
Si \(P(A)\neq0\), cela revient aussi à dire :
\[
P_A(B)=P(B).
\]
Interprétation :
savoir que \(A\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(B\).
4. Loi d’une variable aléatoire
Une variable aléatoire \(X\) peut prendre plusieurs valeurs \(x_1,x_2,\ldots,x_n\).
Sa loi de probabilité se présente sous forme de tableau.
| Valeur \(x_i\) |
\(x_1\) |
\(x_2\) |
\(\cdots\) |
\(x_n\) |
| Probabilité \(p_i\) |
\(p_1\) |
\(p_2\) |
\(\cdots\) |
\(p_n\) |
Les probabilités doivent vérifier :
\[
p_1+p_2+\cdots+p_n=1.
\]
5. Espérance, variance et écart-type
L’espérance est :
\[
E(X)=\sum x_i p_i.
\]
La variance est :
\[
V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2.
\]
On peut aussi utiliser :
\[
V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.
\]
L’écart-type est :
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
\]
Interprétation :
l’espérance mesure une moyenne théorique ; l’écart-type mesure la dispersion autour de cette moyenne.
Partie V — Exercices avancés type Bac blanc Première Spé
Cette série est conçue pour un niveau solide de Première Spécialité :
arbres pondérés, probabilités conditionnelles, inversion de condition,
indépendance, loi de probabilité, espérance, variance, écart-type
et interprétation complète.
Exercice type Bac 1 — Test médical, faux positifs et inversion de condition
Une maladie touche \(2\%\) d’une population. Un laboratoire propose un test de dépistage.
- Si une personne est malade, le test est positif avec une probabilité de \(0,98\).
- Si une personne n’est pas malade, le test est positif avec une probabilité de \(0,06\).
On choisit une personne au hasard. On note :
\[
M : \text{« la personne est malade »}
\qquad\text{et}\qquad
T : \text{« le test est positif »}.
\]
- Donner \(P(M)\), \(P(\overline M)\), \(P_M(T)\) et \(P_{\overline M}(T)\).
- Calculer \(P(M\cap T)\).
- Calculer \(P(T)\).
- Calculer \(P_T(M)\).
- Interpréter le résultat obtenu dans le contexte.
- Le test est-il suffisant pour affirmer qu’une personne est malade ? Justifier.
Indice méthode
Pour calculer \(P_T(M)\), il faut d’abord calculer \(P(T)\).
Attention : \(P_T(M)\) n’est pas égal à \(P_M(T)\).
\[
P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}.
\]
Correction détaillée
D’après l’énoncé :
\[
P(M)=0,02
\qquad\text{et}\qquad
P(\overline M)=0,98.
\]
\[
P_M(T)=0,98
\qquad\text{et}\qquad
P_{\overline M}(T)=0,06.
\]
On calcule :
\[
P(M\cap T)=P(M)P_M(T)=0,02\times0,98=0,0196.
\]
D’après la formule des probabilités totales :
\[
P(T)=P(M\cap T)+P(\overline M\cap T).
\]
\[
P(T)=0,02\times0,98+0,98\times0,06.
\]
\[
P(T)=0,0196+0,0588=0,0784.
\]
On cherche la probabilité qu’une personne soit malade sachant que le test est positif :
\[
P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}
=
\frac{0,0196}{0,0784}
=
0,25.
\]
Conclusion :
\[
\boxed{P_T(M)=0,25.}
\]
Sachant que le test est positif, la probabilité que la personne soit réellement malade
est de \(25\%\).
Interprétation :
le test détecte très bien les malades, mais comme la maladie est rare,
les faux positifs restent nombreux parmi les tests positifs.
Un test positif seul ne suffit donc pas à affirmer avec certitude qu’une personne est malade.
Exercice type Bac 2 — Trois fournisseurs, défauts et origine probable
Une entreprise reçoit des pièces de trois fournisseurs \(A\), \(B\) et \(C\).
- Le fournisseur \(A\) fournit \(45\%\) des pièces.
- Le fournisseur \(B\) fournit \(35\%\) des pièces.
- Le fournisseur \(C\) fournit le reste.
Les probabilités qu’une pièce soit défectueuse sont :
\[
P_A(D)=0,04,
\qquad
P_B(D)=0,06,
\qquad
P_C(D)=0,12.
\]
On choisit une pièce au hasard. On note \(D\) l’événement :
« la pièce est défectueuse ».
- Déterminer \(P(C)\).
- Calculer \(P(A\cap D)\), \(P(B\cap D)\) et \(P(C\cap D)\).
- Calculer \(P(D)\).
- Une pièce est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle provienne du fournisseur \(C\).
- Comparer \(P_D(C)\) et \(P(C)\). Interpréter.
- Les événements \(C\) et \(D\) sont-ils indépendants ? Justifier.
Indice méthode
La question 4 demande une probabilité conditionnelle inversée :
\[
P_D(C)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}.
\]
Pour l’indépendance, on peut comparer \(P_C(D)\) et \(P(D)\).
Correction détaillée
On a :
\[
P(C)=1-0,45-0,35=0,20.
\]
On calcule les probabilités des chemins :
\[
P(A\cap D)=0,45\times0,04=0,018.
\]
\[
P(B\cap D)=0,35\times0,06=0,021.
\]
\[
P(C\cap D)=0,20\times0,12=0,024.
\]
Donc :
\[
P(D)=0,018+0,021+0,024=0,063.
\]
On cherche :
\[
P_D(C)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}
=
\frac{0,024}{0,063}.
\]
\[
P_D(C)=\frac{24}{63}=\frac{8}{21}\approx0,381.
\]
On compare :
\[
P(C)=0,20
\qquad\text{et}\qquad
P_D(C)\approx0,381.
\]
Sachant que la pièce est défectueuse, la probabilité qu’elle provienne de \(C\)
augmente fortement.
Pour l’indépendance, on compare :
\[
P_C(D)=0,12
\qquad\text{et}\qquad
P(D)=0,063.
\]
Ces deux probabilités ne sont pas égales.
Conclusion :
\[
\boxed{C\text{ et }D\text{ ne sont pas indépendants}.}
\]
Exercice type Bac 3 — Indépendance, union et probabilité conditionnelle
Dans un lycée, on interroge un élève au hasard.
On note :
\[
S : \text{« l’élève pratique un sport »}
\qquad\text{et}\qquad
M : \text{« l’élève suit une option musicale »}.
\]
On donne :
\[
P(S)=0,48,
\qquad
P(M)=0,35,
\qquad
P(S\cap M)=0,18.
\]
- Calculer \(P_S(M)\).
- Calculer \(P_M(S)\).
- Les événements \(S\) et \(M\) sont-ils indépendants ?
- Calculer \(P(S\cup M)\).
- Calculer \(P(\overline S\cap M)\).
- Interpréter \(P(\overline S\cap M)\).
Indice méthode
Attention aux deux probabilités conditionnelles :
\[
P_S(M)=\frac{P(S\cap M)}{P(S)}
\qquad\text{et}\qquad
P_M(S)=\frac{P(S\cap M)}{P(M)}.
\]
Correction détaillée
On calcule :
\[
P_S(M)=\frac{P(S\cap M)}{P(S)}
=
\frac{0,18}{0,48}
=
0,375.
\]
\[
P_M(S)=\frac{P(S\cap M)}{P(M)}
=
\frac{0,18}{0,35}
=
\frac{18}{35}
\approx0,514.
\]
Pour tester l’indépendance :
\[
P(S)P(M)=0,48\times0,35=0,168.
\]
Or :
\[
P(S\cap M)=0,18.
\]
Comme \(0,18\neq0,168\), les événements ne sont pas indépendants.
Ensuite :
\[
P(S\cup M)=P(S)+P(M)-P(S\cap M).
\]
\[
P(S\cup M)=0,48+0,35-0,18=0,65.
\]
Enfin :
\[
P(\overline S\cap M)=P(M)-P(S\cap M).
\]
\[
P(\overline S\cap M)=0,35-0,18=0,17.
\]
Conclusion :
\[
\boxed{P_S(M)=0,375,\quad P_M(S)\approx0,514,\quad P(S\cup M)=0,65.}
\]
De plus, \(17\%\) des élèves suivent l’option musicale sans pratiquer de sport.
Exercice type Bac 4 — Loi de probabilité avec paramètre
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(-3\), \(1\), \(4\) et \(8\).
Sa loi de probabilité est donnée par :
| \(x_i\) |
\(-3\) |
\(1\) |
\(4\) |
\(8\) |
| \(P(X=x_i)\) |
\(0,20\) |
\(a\) |
\(0,25\) |
\(0,15\) |
- Déterminer \(a\).
- Calculer \(E(X)\).
- Calculer \(E(X^2)\).
- En déduire \(V(X)\).
- Calculer \(\sigma(X)\), arrondi au centième.
- Interpréter l’espérance si \(X\) représente un gain algébrique en euros.
Indice méthode
On utilise :
\[
V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.
\]
Correction détaillée
Les probabilités doivent avoir une somme égale à \(1\) :
\[
0,20+a+0,25+0,15=1.
\]
\[
a+0,60=1.
\]
\[
a=0,40.
\]
L’espérance vaut :
\[
E(X)=(-3)\times0,20+1\times0,40+4\times0,25+8\times0,15.
\]
\[
E(X)=-0,60+0,40+1+1,20=2.
\]
On calcule :
\[
E(X^2)=(-3)^2\times0,20+1^2\times0,40+4^2\times0,25+8^2\times0,15.
\]
\[
E(X^2)=9\times0,20+1\times0,40+16\times0,25+64\times0,15.
\]
\[
E(X^2)=1,80+0,40+4+9,60=15,80.
\]
Donc :
\[
V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.
\]
\[
V(X)=15,80-2^2=15,80-4=11,80.
\]
L’écart-type vaut :
\[
\sigma(X)=\sqrt{11,80}\approx3,44.
\]
Conclusion :
\[
\boxed{a=0,40,\quad E(X)=2,\quad V(X)=11,80,\quad \sigma(X)\approx3,44.}
\]
Si \(X\) représente un gain en euros, le gain moyen théorique est de \(2\) euros.
Exercice type Bac 5 — Jeu équitable avec mise inconnue
Un jeu consiste à tirer une carte dans un paquet contenant \(10\) cartes :
\(2\) cartes rouges, \(3\) cartes bleues et \(5\) cartes vertes.
Le joueur paie une mise de \(m\) euros.
- S’il tire une carte rouge, il reçoit \(15\) euros.
- S’il tire une carte bleue, il reçoit \(6\) euros.
- S’il tire une carte verte, il ne reçoit rien.
On note \(G\) le gain algébrique du joueur :
\[
G=\text{gain reçu}-m.
\]
- Donner les valeurs possibles de \(G\).
- Déterminer la loi de probabilité de \(G\).
- Exprimer \(E(G)\) en fonction de \(m\).
- Déterminer la valeur de \(m\) pour laquelle le jeu est équitable.
- Si la mise est \(5\) euros, le jeu est-il favorable au joueur ?
Indice méthode
Un jeu est équitable lorsque :
\[
E(G)=0.
\]
Correction détaillée
Les valeurs possibles de \(G\) sont :
\[
15-m,\qquad 6-m,\qquad -m.
\]
| Valeur de \(G\) |
\(15-m\) |
\(6-m\) |
\(-m\) |
| Probabilité |
\(\frac{2}{10}\) |
\(\frac{3}{10}\) |
\(\frac{5}{10}\) |
L’espérance vaut :
\[
E(G)=(15-m)\times\frac{2}{10}
+(6-m)\times\frac{3}{10}
+(-m)\times\frac{5}{10}.
\]
\[
E(G)=3-\frac{2m}{10}
+1,8-\frac{3m}{10}
-\frac{5m}{10}.
\]
\[
E(G)=4,8-m.
\]
Le jeu est équitable lorsque :
\[
E(G)=0.
\]
\[
4,8-m=0.
\]
\[
m=4,8.
\]
Si \(m=5\), alors :
\[
E(G)=4,8-5=-0,2.
\]
Conclusion :
\[
\boxed{m=4,8}
\]
rend le jeu équitable. Si la mise est de \(5\) euros, le jeu est légèrement défavorable au joueur.
Exercice type Bac 6 — Urne, tirages dépendants et loi de gain
Une urne contient \(5\) boules rouges et \(3\) boules bleues.
On tire successivement deux boules sans remise.
À chaque boule rouge tirée, le joueur gagne \(4\) euros.
À chaque boule bleue tirée, il perd \(3\) euros.
On note \(X\) le gain total après les deux tirages.
- Calculer \(P(RR)\).
- Calculer \(P(RB)\) et \(P(BR)\).
- Calculer \(P(BB)\).
- Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
- Calculer \(E(X)\).
- Interpréter le résultat.
Indice méthode
Les tirages sont sans remise : les probabilités changent au second tirage.
Correction détaillée
L’urne contient \(8\) boules : \(5\) rouges et \(3\) bleues.
1. Probabilité de \(RR\)
\[
P(RR)=\frac58\times\frac47=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}.
\]
2. Probabilités de \(RB\) et \(BR\)
\[
P(RB)=\frac58\times\frac37=\frac{15}{56}.
\]
\[
P(BR)=\frac38\times\frac57=\frac{15}{56}.
\]
3. Probabilité de \(BB\)
\[
P(BB)=\frac38\times\frac27=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}.
\]
4. Loi de \(X\)
- Deux rouges : \(X=4+4=8\).
- Une rouge et une bleue : \(X=4-3=1\).
- Deux bleues : \(X=-3-3=-6\).
\[
P(X=8)=\frac{5}{14}.
\]
\[
P(X=1)=P(RB)+P(BR)=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}.
\]
\[
P(X=-6)=\frac{3}{28}.
\]
| \(x_i\) |
\(-6\) |
\(1\) |
\(8\) |
| \(P(X=x_i)\) |
\(\frac{3}{28}\) |
\(\frac{15}{28}\) |
\(\frac{5}{14}\) |
5. Espérance
\[
E(X)=(-6)\times\frac{3}{28}
+1\times\frac{15}{28}
+8\times\frac{5}{14}.
\]
\[
E(X)=\frac{-18}{28}+\frac{15}{28}+\frac{80}{28}.
\]
\[
E(X)=\frac{77}{28}=\frac{11}{4}=2,75.
\]
Conclusion :
\[
\boxed{E(X)=2,75.}
\]
Le gain moyen théorique est de \(2,75\) euros par partie.