Première Spécialité Mathématiques
Révision — Fonctions trigonométriques
Une page complète pour maîtriser le cercle trigonométrique, les radians,
les valeurs remarquables, les identités, les signes, les variations,
les équations et les inéquations trigonométriques.
Cercle trigonométrique
Radians
Sinus
Cosinus
Équations
Inéquations
Type Bac blanc
Méthode générale
En trigonométrie, il faut éviter de résoudre mécaniquement. La méthode
fiable consiste à revenir au cercle trigonométrique, identifier l’angle
remarquable, choisir le bon signe selon le quadrant, puis écrire les
solutions demandées dans l’intervalle imposé.
Angle remarquable
+
Quadrant
+
Signe
+
Intervalle
+
Conclusion
Point clé :
une équation du type \(\sin x=a\) ou \(\cos x=a\) possède souvent
deux solutions sur un intervalle de longueur \(2\pi\). Il faut donc
toujours vérifier l’intervalle demandé.
Partie I — Questions de cours avancées
Cette partie sert à vérifier les bases indispensables : lecture sur le cercle,
radians, signes, périodicité, valeurs remarquables et résolution d’équations.
1. Questions essentielles sur le cercle trigonométrique
- Que représente un angle mesuré en radians ?
- Quelle est la mesure en radians d’un angle de \(180^\circ\) ?
- Quelle est la mesure en radians d’un angle de \(90^\circ\) ?
- Comment lit-on \(\cos x\) sur le cercle trigonométrique ?
- Comment lit-on \(\sin x\) sur le cercle trigonométrique ?
- Pourquoi a-t-on toujours \(-1\leq \cos x\leq 1\) ?
- Pourquoi a-t-on toujours \(-1\leq \sin x\leq 1\) ?
- Quelle identité relie \(\cos^2 x\) et \(\sin^2 x\) ?
- Pourquoi les fonctions sinus et cosinus sont-elles \(2\pi\)-périodiques ?
- Quelle différence y a-t-il entre résoudre \(\sin x=a\) et \(\cos x=a\) ?
Réponses attendues détaillées
-
Un angle en radians correspond à une mesure liée à la longueur
de l’arc sur le cercle trigonométrique.
-
\[
180^\circ=\pi.
\]
-
\[
90^\circ=\frac{\pi}{2}.
\]
-
\(\cos x\) est l’abscisse du point associé à l’angle \(x\).
-
\(\sin x\) est l’ordonnée du point associé à l’angle \(x\).
-
Sur le cercle unité, une abscisse est toujours comprise entre
\(-1\) et \(1\).
-
Sur le cercle unité, une ordonnée est toujours comprise entre
\(-1\) et \(1\).
-
L’identité fondamentale est :
\[
\boxed{\cos^2 x+\sin^2 x=1}.
\]
-
Un tour complet du cercle correspond à \(2\pi\). Après un tour complet,
on revient au même point.
-
Pour \(\cos x=a\), les solutions sont symétriques par rapport
à l’axe des abscisses. Pour \(\sin x=a\), elles sont symétriques
par rapport à l’axe des ordonnées.
Partie II — Cours essentiel
1. Correspondance degrés-radians
| Degrés |
\(0^\circ\) |
\(30^\circ\) |
\(45^\circ\) |
\(60^\circ\) |
\(90^\circ\) |
\(180^\circ\) |
\(360^\circ\) |
| Radians |
\(0\) |
\(\frac{\pi}{6}\) |
\(\frac{\pi}{4}\) |
\(\frac{\pi}{3}\) |
\(\frac{\pi}{2}\) |
\(\pi\) |
\(2\pi\) |
2. Valeurs remarquables
Les valeurs suivantes doivent être connues parfaitement.
| \(x\) |
\(0\) |
\(\frac{\pi}{6}\) |
\(\frac{\pi}{4}\) |
\(\frac{\pi}{3}\) |
\(\frac{\pi}{2}\) |
| \(\cos x\) |
\(1\) |
\(\frac{\sqrt3}{2}\) |
\(\frac{\sqrt2}{2}\) |
\(\frac12\) |
\(0\) |
| \(\sin x\) |
\(0\) |
\(\frac12\) |
\(\frac{\sqrt2}{2}\) |
\(\frac{\sqrt3}{2}\) |
\(1\) |
À retenir :
sur \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\), quand l’angle augmente,
le cosinus diminue et le sinus augmente.
3. Identités et propriétés
\[
\boxed{\cos^2 x+\sin^2 x=1}
\]
\[
\cos(-x)=\cos x
\qquad\text{et}\qquad
\sin(-x)=-\sin x
\]
\[
\cos(x+2\pi)=\cos x
\qquad\text{et}\qquad
\sin(x+2\pi)=\sin x
\]
Interprétation :
la fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire,
et les deux fonctions sont \(2\pi\)-périodiques.
Partie III — Méthodes directes
1. Résoudre \(\cos x=\cos \alpha\)
\[
\boxed{
x=\alpha+2k\pi
\quad\text{ou}\quad
x=-\alpha+2k\pi
}
\]
avec \(k\in\mathbb Z\).
Indice méthode
Pour le cosinus, les deux angles sont symétriques par rapport
à l’axe horizontal.
2. Résoudre \(\sin x=\sin \alpha\)
\[
\boxed{
x=\alpha+2k\pi
\quad\text{ou}\quad
x=\pi-\alpha+2k\pi
}
\]
avec \(k\in\mathbb Z\).
Indice méthode
Pour le sinus, les deux angles sont symétriques par rapport
à l’axe vertical.
Partie IV — Signes et variations
1. Variations de \(\sin x\) sur \([-\pi;\pi]\)
| \(x\) |
\(-\pi\) |
\(-\frac{\pi}{2}\) |
\(\frac{\pi}{2}\) |
\(\pi\) |
| \(\sin x\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(1\) |
\(0\) |
| Variation |
\(0\ \searrow\ -1\ \nearrow\ 1\ \searrow\ 0\)
|
2. Variations de \(\cos x\) sur \([-\pi;\pi]\)
| \(x\) |
\(-\pi\) |
\(0\) |
\(\pi\) |
| \(\cos x\) |
\(-1\) |
\(1\) |
\(-1\) |
| Variation |
\(-1\ \nearrow\ 1\ \searrow\ -1\)
|
3. Signes de \(\sin x\) et \(\cos x\)
| Fonction |
Positive ou nulle |
Négative ou nulle |
| \(\sin x\) |
\([0;\pi]\) |
\([-\pi;0]\) |
| \(\cos x\) |
\(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) |
\(\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]
\cup
\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]\)
|
Attention :
ces signes sont donnés sur \([-\pi;\pi]\). Sur un autre intervalle,
il faut utiliser la périodicité.
Partie V — Exercices bien avancés
Exercice 1 — Valeurs exactes et identité fondamentale
Soit \(x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\) tel que :
\[
\cos x=\frac35.
\]
- Déterminer la valeur exacte de \(\sin x\).
- En déduire la valeur exacte de \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).
- Calculer \(\cos^2 x-\sin^2 x\).
Indice méthode
Utiliser \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\), puis choisir le bon signe
grâce à l’intervalle.
Correction détaillée
\[
\cos^2 x+\sin^2 x=1.
\]
Comme \(\cos x=\frac35\), on a :
\[
\cos^2 x=\frac{9}{25}.
\]
Donc :
\[
\sin^2 x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}.
\]
Comme \(x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\), on a \(\sin x\geq0\).
Ainsi :
\[
\boxed{\sin x=\frac45}
\]
\[
\tan x=\frac{\frac45}{\frac35}=\frac43.
\]
\[
\boxed{\tan x=\frac43}
\]
\[
\cos^2 x-\sin^2 x
=
\frac{9}{25}-\frac{16}{25}
=
-\frac{7}{25}.
\]
\[
\boxed{\cos^2 x-\sin^2 x=-\frac{7}{25}}
\]
Exercice 2 — Résolution d’équations trigonométriques
Résoudre dans \([0;2\pi]\) :
- \(\cos x=\frac12\)
- \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\)
- \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\)
- \(\sin x=-\frac12\)
Indice méthode
Chercher l’angle de référence, puis placer les solutions
dans les bons quadrants.
Correction détaillée
1. \(\cos x=\frac12\)
\[
\boxed{x=\frac{\pi}{3}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{5\pi}{3}}
\]
2. \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\)
\[
\boxed{x=\frac{\pi}{3}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{2\pi}{3}}
\]
3. \(\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}\)
\[
\boxed{x=\frac{3\pi}{4}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{5\pi}{4}}
\]
4. \(\sin x=-\frac12\)
\[
\boxed{x=\frac{7\pi}{6}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{11\pi}{6}}
\]
Exercice 3 — Étude de fonction trigonométrique
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;\pi]\) par :
\[
f(x)=2\sin x-x.
\]
- Calculer \(f'(x)\).
- Résoudre \(f'(x)=0\) sur \([0;\pi]\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Dresser le tableau de variations de \(f\).
- Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions sur \([0;\pi]\).
Indice méthode
La dérivée de \(\sin x\) est \(\cos x\). Il faut résoudre
\(\cos x=\frac12\).
Correction détaillée
\[
f'(x)=2\cos x-1.
\]
\[
f'(x)=0
\Longleftrightarrow
\cos x=\frac12.
\]
Sur \([0;\pi]\), on obtient :
\[
\boxed{x=\frac{\pi}{3}}
\]
Comme \(\cos x\) est décroissante sur \([0;\pi]\), on a :
\[
f'(x)\geq0
\text{ sur }
\left[0;\frac{\pi}{3}\right],
\qquad
f'(x)\leq0
\text{ sur }
\left[\frac{\pi}{3};\pi\right].
\]
Donc \(f\) est croissante puis décroissante.
\[
f(0)=0,
\qquad
f\left(\frac{\pi}{3}\right)
=
\sqrt3-\frac{\pi}{3}>0,
\qquad
f(\pi)=-\pi<0.
\]
La fonction \(f\) est continue. La valeur \(x=0\) est déjà
une solution. Sur \(\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]\),
la fonction est strictement décroissante et passe d’une valeur
positive à une valeur négative. Elle admet donc une unique
autre solution.
Conclusion :
l’équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions sur
\([0;\pi]\) : \(x=0\), puis une seconde solution dans
\(\left]\frac{\pi}{3};\pi\right[\).
Exercice 4 — Valeur exacte et élimination d’angles
On considère un réel \(x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\)
tel que :
\[
\sin x=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.
\]
- Déterminer la valeur exacte de \(\cos x\).
-
On sait que :
\[
x\in\left\{
\frac{\pi}{12};
\frac{5\pi}{12};
-\frac{\pi}{12};
-\frac{5\pi}{12}
\right\}.
\]
Déterminer \(x\) par élimination.
Indice méthode
Utiliser \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\), puis le signe de \(\cos x\)
sur l’intervalle donné.
Correction détaillée
\[
\sin^2 x
=
\left(\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\right)^2
=
\frac{2-2\sqrt{12}+6}{16}
=
\frac{8-4\sqrt3}{16}
=
\frac{2-\sqrt3}{4}.
\]
\[
\cos^2 x
=
1-\frac{2-\sqrt3}{4}
=
\frac{2+\sqrt3}{4}.
\]
Comme \(x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\),
on a \(\cos x\geq0\). Donc :
\[
\boxed{\cos x=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}}
\]
De plus :
\[
\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)
=
\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.
\]
Donc :
\[
\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)
=
\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.
\]
\[
\boxed{x=-\frac{\pi}{12}}
\]
Exercice 5 — Déterminer \(\cos x\) à partir de \(\sin x\)
Dans chacun des cas suivants, déterminer la valeur exacte de \(\cos x\).
-
\(x\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]\) et
\(\sin x=\frac14\).
-
\(x\in\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]\) et
\(\sin x=-0{,}6\).
-
\(x\in\left[-\frac{\pi}{2};0\right]\) et
\(\sin x=-\frac23\).
Indice méthode
Calculer \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\), puis choisir le signe de
\(\cos x\) grâce à l’intervalle.
Correction détaillée
1. Premier cas
\[
\cos^2 x=1-\left(\frac14\right)^2
=
1-\frac1{16}
=
\frac{15}{16}.
\]
Sur \(\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]\), le cosinus est négatif.
\[
\boxed{\cos x=-\frac{\sqrt{15}}{4}}
\]
2. Deuxième cas
\(-0{,}6=-\frac35\), donc :
\[
\cos^2 x=1-\frac{9}{25}
=
\frac{16}{25}.
\]
Sur \(\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]\), le cosinus
est positif.
\[
\boxed{\cos x=\frac45}
\]
3. Troisième cas
\[
\cos^2 x=1-\frac49=\frac59.
\]
Sur \(\left[-\frac{\pi}{2};0\right]\), le cosinus est positif.
\[
\boxed{\cos x=\frac{\sqrt5}{3}}
\]
Exercice 6 — Simplifier avec périodicité et symétries
Simplifier les expressions suivantes en fonction de \(\sin x\)
ou \(\cos x\).
- \(A=\sin(x+100\pi)\)
- \(B=\sin(x+71\pi)\)
- \(C=\cos(x-78\pi)\)
- \(D=\cos\left(\frac{5\pi}{2}-x\right)\)
-
\(E=
\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
+4\sin\left(-x-\frac{\pi}{2}\right)
-5\sin(\pi+x)\)
Indice méthode
Utiliser la périodicité \(2\pi\), puis les formules de symétrie.
Correction détaillée
1. Simplification de \(A\)
\[
100\pi=50\times2\pi
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{A=\sin x}.
\]
2. Simplification de \(B\)
\[
71\pi=35\times2\pi+\pi.
\]
\[
B=\sin(x+\pi)=-\sin x.
\]
\[
\boxed{B=-\sin x}
\]
3. Simplification de \(C\)
\[
78\pi=39\times2\pi
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{C=\cos x}.
\]
4. Simplification de \(D\)
\[
D=
\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{2}-x\right)
=
\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
=
\sin x.
\]
\[
\boxed{D=\sin x}
\]
5. Simplification de \(E\)
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x.
\]
\[
\sin\left(-x-\frac{\pi}{2}\right)
=
-\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)
=
-\cos x.
\]
\[
\sin(\pi+x)=-\sin x.
\]
\[
E=\sin x+4(-\cos x)-5(-\sin x)
=
6\sin x-4\cos x.
\]
\[
\boxed{E=6\sin x-4\cos x}
\]
Exercice 7 — Retrouver un angle avec sinus et cosinus
À l’aide du cercle trigonométrique, déterminer toutes les valeurs
possibles de \(x\).
-
\(\cos x=\frac12\) et
\(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\),
avec \(x\in]-\pi;\pi]\).
-
\(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\) et
\(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\),
avec \(x\in]-\pi;\pi]\).
-
\(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\) et
\(\sin x=-\frac12\),
avec \(x\in]-\pi;3\pi]\).
-
\(\cos x=0\) et \(\sin x=-1\),
avec \(x\in]-2\pi;3\pi]\).
Indice méthode
Les deux informations donnent les coordonnées du point :
\[
M(\cos x;\sin x).
\]
Correction détaillée
1. Premier cas
\[
M\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{x=-\frac{\pi}{3}}.
\]
2. Deuxième cas
\[
M\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{x=\frac{\pi}{4}}.
\]
3. Troisième cas
\[
M\left(-\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right).
\]
Un angle associé est \(\frac{7\pi}{6}\). Dans
\(]-\pi;3\pi]\), on obtient aussi :
\[
\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}.
\]
\[
\boxed{
x=-\frac{5\pi}{6}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{7\pi}{6}
}
\]
4. Quatrième cas
\[
\cos x=0,\quad \sin x=-1
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi.
\]
Dans \(]-2\pi;3\pi]\), les valeurs sont :
\[
\boxed{
x=-\frac{\pi}{2}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{3\pi}{2}
}
\]
Exercice 8 — Équations trigonométriques dans \(]-\pi;\pi]\)
Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) :
- \(\cos x=\frac12\)
- \(\sin x=\frac12\)
- \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\)
- \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\)
Indice méthode
Attention : l’intervalle n’est pas \([0;2\pi]\), mais
\(]-\pi;\pi]\).
Correction détaillée
1. \(\cos x=\frac12\)
\[
\boxed{x=-\frac{\pi}{3}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{\pi}{3}}
\]
2. \(\sin x=\frac12\)
\[
\boxed{x=\frac{\pi}{6}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{5\pi}{6}}
\]
3. \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\)
\[
\boxed{x=-\frac{5\pi}{6}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{5\pi}{6}}
\]
4. \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\)
\[
\boxed{x=\frac{\pi}{4}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{3\pi}{4}}
\]
Exercice 9 — Inéquations trigonométriques
Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) :
- \(\sin x<\frac12\)
- \(\cos x>\frac12\)
- \(\cos x>\frac{1}{\sqrt2}\)
- \(\sin x\leq\frac{\sqrt3}{2}\)
Indice méthode
Résoudre d’abord l’équation associée, puis repérer l’arc
correspondant sur le cercle trigonométrique.
Correction détaillée
1. \(\sin x<\frac12\)
\[
\sin x=\frac12
\Longleftrightarrow
x=\frac{\pi}{6}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{5\pi}{6}.
\]
\[
\boxed{
x\in
\left]-\pi;\frac{\pi}{6}\right[
\cup
\left]\frac{5\pi}{6};\pi\right]
}
\]
2. \(\cos x>\frac12\)
\[
\boxed{
x\in
\left]-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right[
}
\]
3. \(\cos x>\frac{1}{\sqrt2}\)
Comme \(\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\), les angles limites
sont \(-\frac{\pi}{4}\) et \(\frac{\pi}{4}\).
\[
\boxed{
x\in
\left]-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right[
}
\]
4. \(\sin x\leq\frac{\sqrt3}{2}\)
\[
\sin x=\frac{\sqrt3}{2}
\Longleftrightarrow
x=\frac{\pi}{3}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{2\pi}{3}.
\]
\[
\boxed{
x\in
\left]-\pi;\frac{\pi}{3}\right]
\cup
\left[\frac{2\pi}{3};\pi\right]
}
\]
Exercice 10 — Équations du second degré en \(\sin x\) ou \(\cos x\)
Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) les équations suivantes :
- \(2\cos^2 x+9\cos x+4=0\)
- \(4\sin^2 x-2(1+\sqrt3)\sin x+\sqrt3=0\)
Indice méthode
Poser \(X=\cos x\) ou \(Y=\sin x\), résoudre l’équation du
second degré, puis garder seulement les valeurs entre \(-1\)
et \(1\).
Correction détaillée
1. Première équation
On pose \(X=\cos x\). Alors :
\[
2X^2+9X+4=0.
\]
\[
\Delta=9^2-4\times2\times4=81-32=49.
\]
\[
X_1=\frac{-9-7}{4}=-4,
\qquad
X_2=\frac{-9+7}{4}=-\frac12.
\]
Comme \(\cos x\in[-1;1]\), la valeur \(-4\) est impossible.
Il reste :
\[
\cos x=-\frac12.
\]
\[
\boxed{
x=-\frac{2\pi}{3}
\quad\text{ou}\quad
x=\frac{2\pi}{3}
}
\]
2. Deuxième équation
On pose \(Y=\sin x\). Alors :
\[
4Y^2-2(1+\sqrt3)Y+\sqrt3=0.
\]
Cette expression se factorise :
\[
4Y^2-2(1+\sqrt3)Y+\sqrt3
=
(2Y-1)(2Y-\sqrt3).
\]
\[
Y=\frac12
\quad\text{ou}\quad
Y=\frac{\sqrt3}{2}.
\]
On résout donc :
\[
\sin x=\frac12
\quad\text{ou}\quad
\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.
\]
\[
\boxed{
x=\frac{\pi}{6};
\frac{5\pi}{6};
\frac{\pi}{3};
\frac{2\pi}{3}
}
\]
Partie VI — Bilan méthode
À maîtriser absolument :
les valeurs remarquables, les signes de \(\sin\) et \(\cos\),
la périodicité, les équations dans un intervalle donné, les inéquations
et les équations du second degré en \(\sin x\) ou \(\cos x\).
Erreurs classiques :
oublier la deuxième solution, confondre radians et degrés, oublier
de vérifier l’intervalle demandé, ou garder une valeur impossible comme
\(\cos x=-4\).
Méthode finale :
cercle trigonométrique d’abord, calcul ensuite. En trigonométrie,
le dessin mental du cercle permet d’éviter la majorité des erreurs.