Cours — Fonctions affines

Dans ce chapitre, on étudie les fonctions affines : ce sont les fonctions dont la représentation graphique est une droite dans un repère.

1. Définition

Une fonction \( f \) est dite affine s’il existe deux nombres réels \( a \) et \( b \) tels que pour tout réel \( x \), \[ f(x) = ax + b. \] On appelle :

• \( a \) le coefficient directeur de la droite ;
• \( b \) l’ordonnée à l’origine (valeur de \( f(0) \)).

La représentation graphique de \( f \) est une droite \((d)\) dans un repère.

2. Cas particuliers

a) Fonction linéaire

Lorsque \( b = 0 \), on a \( f(x) = ax \). On parle alors de fonction linéaire. Sa courbe est une droite passant par l’origine du repère \((0;0)\).

b) Fonction constante

Lorsque \( a = 0 \), on a \( f(x) = b \). On parle alors de fonction constante. Sa courbe est une droite horizontale d’ordonnée \( b \).

3. Sens de variation

Soit \( f(x) = ax + b \) une fonction affine.

• Si \( a > 0 \) : la fonction est croissante sur \( \mathbb{R} \). La droite « monte » lorsque \( x \) augmente.
• Si \( a < 0 \) : la fonction est décroissante sur \( \mathbb{R} \). La droite « descend » lorsque \( x \) augmente.
• Si \( a = 0 \) : la fonction est constante.

Justification (admise en Seconde) : pour \( x_1 < x_2 \), \[ f(x_2) - f(x_1) = a(x_2 - x_1). \] Le signe de \( f(x_2) - f(x_1) \) est donc le même que celui de \( a \).

4. Rôle du coefficient directeur \( a \)

Le coefficient directeur \( a \) mesure la « pente » de la droite. Si on connaît deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) de la droite, on peut le calculer par : \[ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \quad \text{(avec } x_A \neq x_B\text{)}. \]

5. Rôle de l’ordonnée à l’origine \( b \)

La valeur \( b \) est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées (axe vertical) : \[ f(0) = a \times 0 + b = b. \] Ainsi, le point \( (0 ; b) \) appartient toujours à la droite représentative de \( f \).

6. Déterminer l’expression d’une fonction affine

a) À partir de deux points

Soit une fonction affine \( f \) telle que sa droite passe par deux points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) avec \( x_A \neq x_B \).

1. On calcule d’abord le coefficient directeur : \[ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}. \]
2. On utilise l’un des points pour trouver \( b \) : \[ y_A = f(x_A) = a x_A + b \quad \Rightarrow \quad b = y_A - a x_A. \]
3. On écrit le résultat : \( f(x) = ax + b \).

b) À partir d’un point et du coefficient directeur

Si on connaît \( a \) et un point \( A(x_A, y_A) \) sur la droite, on résout : \[ y_A = a x_A + b \quad \Rightarrow \quad b = y_A - a x_A. \]

7. Résolution d’équations du type \( f(x) = k \)

Pour résoudre \( f(x) = k \) avec \( f(x) = ax + b \), on résout l’équation : \[ ax + b = k. \] Si \( a \neq 0 \), on obtient : \[ x = \frac{k - b}{a}. \]

Graphiquement, résoudre \( f(x) = k \) revient à chercher l’abscisse du point d’intersection entre la droite de \( f \) et la droite horizontale d’équation \( y = k \).

8. Intersection de deux fonctions affines

Soient \( f(x) = a x + b \) et \( g(x) = c x + d \). L’abscisse du point d’intersection de leurs droites se trouve en résolvant : \[ f(x) = g(x) \quad \Leftrightarrow \quad ax + b = cx + d. \] On obtient (si \( a \neq c \)) : \[ x = \frac{d - b}{a - c}. \]